Informatie

Hoe de evenwichtswaarde $hat F$ vergelijking af te leiden


In de populatiegenetica is er een verband tussen: $hat F$ en $Nm$.

$hat F=frac{1}{1+4Nm}$

In het handboek over populatiegenetica (d.w.z. Hartl, D.L. en A.G. Clark. 2007. Principles of populatiegenetica. Vierde editie. Sinauer Associates Incorporated, Sunderland, Massachusetts.) staat dat met behulp van de onderstaande vergelijking:

$F_t= igg(frac{1}{2N}igg)(1-m)^2+igg(1-frac{1}{2N}igg)(1-m)^2F_{t -1}$

Set $hat F = F_t = F_{t-1}$. Na het uitbreiden van de gekwadrateerde termen aan de rechterkant, en ervan uitgaande dat $m$ is klein genoeg en $N$ groot genoeg, en dat is in $m^2$ en $m/N$ kan worden genegeerd, leidt enige herschikking tot:

$hat F=frac{1}{1+4Nm}$

Ik probeerde het algebraïsch over te doen, zonder succes. Dus weet jij hoe je naar "$hat F=frac{1}{1+4Nm}$"

$(1-m)^2 = 1-2m+m^2$

$F_t= igg(frac{1}{2N}igg)(1-2m+m^2)+igg(1-frac{1}{2N}igg)(1-2m+m^ 2)F_{t}$

$F_t-igg((1-2m+m^2)-frac{(1-2m+m^2)}{2N}igg)F_{t}= frac{(1-2m+m^ 2)}{2N}$

$F_t(1-(1-2m+m^2)-frac{(1-2m+m^2)}{2N})= frac{(1-2m+m^2)}{2N}$

$F_t(-2m+m^2-frac{(1-2m+m^2)}{2N})= frac{(1-2m+m^2)}{2N}$

$F_t(frac{2N(-2m+m^2)}{2N}-frac{(1-2m+m^2)}{2N})= frac{(1-2m+m^2) }{2N}$

$F_t(frac{2N(-2m+m^2)-(1-2m+m^2)}{2N})= frac{(1-2m+m^2)}{2N}$

$F_t= frac{(1-2m+m^2)}{2N} * (frac{2N}{2N(-2m+m^2)-(1-2m+m^2)})$

$F_t= frac{1-2m+m^2}{(-4Nm+2Nm^2)-1+2m-m^2}$

Vervolgens $m^2= 0$

$F_t= frac{1-2m}{(-4Nm)-1+2m}$

$F_t= frac{1}{(-4Nm)-1+2m} -frac{2m}{(-4Nm)-1+2m}$

??

$F_t= frac{1}{(-4Nm)-1+2m}$

Magie

$hat F=frac{1}{1+4Nm}$


teken probleem

Wanneer ga je van

$F_t(1-(1-2m+m^2)-frac{(1-2m+m^2)}{2N})$

tot

$F_t(-2m+m^2-frac{(1-2m+m^2)}{2N})$

Je maakt een fout in het bord. Het zou moeten zijn

$F_t(2m-m^2-frac{(1-2m+m^2)}{2N})$

Benaderingen

Ik ga ervan uit dat deze tekenfout zich voortplant om uw eindresultaat om te keren. Je zou dus moeten krijgen

$F_t= frac{1}{4Nm+1-2m} -frac{2m}{(-4Nm)-1+2m}$

$frac{2m}{4Nm+1+2m}$ is verwaarloosbaar in vergelijking met $frac{1}{4Nm+1+2m}$, dus je kunt het inderdaad verwijderen. Jij krijgt

$F_t= frac{1}{4Nm+1-2m}$

Ook, $2m$ is verwaarloosbaar in vergelijking met $4Nm$, dus je kunt het weer verwijderen. Je eindigt met

$F_t= frac{1}{4Nm+1}$

Tadaaa!


Hoe de Henderson Hasselbalch-vergelijking af te leiden?

Henderson-Hasselbalch-vergelijking is een eenvoudige uitdrukking die de . relateert pH, pKaen de bufferwerking van een zwak zuur en zijn geconjugeerde base. De Henderson-Hasselbalch-vergelijking beschrijft ook de karakteristieke vorm van de titratiecurve van elk zwak zuur, zoals azijnzuur, fosforzuur of elk ander aminozuur. De titratiecurve van een zwak zuur helpt bij het bepalen van de buffering pH die wordt tentoongesteld rond de pKa van dat zuur.

Bijvoorbeeld, in het geval van acetaatbuffer, de pKa is 4,76. Dit is de beste buffering pH van azijnzuur. Trouwens, bij dit pH het azijnzuur (CH3COOH) en acetaationen (CH3COO¯) zal een equimolaire concentratie in de oplossing hebben. Deze equimolaire oplossing van een zwak zuur en zijn geconjugeerde base zal weerstand bieden aan de verandering in pH door de H⁺-ionen af ​​te staan ​​of op te nemen. ( pH is de negatieve logaritme van de waterstofionenconcentratie in een medium. De pKa is de negatieve logaritme van Ka. De Ka is de dissociatieconstante (vergelijkbaar met de evenwichtsconstante) voor de ionisatiereactie van een zuur.)

In de huidige post zullen we de afleiding van de Henderson-Hasselbalch-vergelijking zien uit de ionisatiereactie van een zwak zuur. We bespreken ook de betekenis van de Henderson-Hasselbalch-vergelijking.

Henderson-Hasselbalch-vergelijking afleiden

Neem de ionisatiereactie van een zwak zuur (HA):

De dissociatieconstante Kavan de bovenstaande reactie zal zijn:

Dissociatieconstante is de verhouding van de concentratie van producten door de concentratie van reactanten. De vierkante haken, [ ], duiden op ‘concentratie’.

Haal dan uit de vergelijking (2) de [H⁺] naar de linkerkant (los op voor H⁺):

Neem dan de negatieve logaritme van beide zijden:

We weten dat de – log [H⁺] is pH en de – log Ka is pKa.

Vervang de pHen pKain de vergelijking (4):

Keer nu de om -log [HA]/[A¯], wat inhoudt dat het teken verandert om de . te verkrijgen Henderson-Hasselbalch vergelijking.

[EEN] is de concentratie van protonacceptor (het kan het proton in een buffer accepteren)

[HA] is de concentratie van protondonor (het kan een proton in de buffer doneren)

Dus de vergelijking (6) kan beter worden uitgedrukt als:

De bovenstaande vergelijking heet de Henderson-Hasselbalch vergelijking.

Gebruik van de Henderson-Hasselbalch-vergelijking

De Henderson-Hasselbalch wordt voornamelijk gebruikt voor het berekenen van de pH of pKa van een oplossing die bekende hoeveelheden van een zwak zuur en zijn geconjugeerde base bevat.

Op het middelpunt van de titratiecurve van een zwak zuur is de concentratie HA (protondonor) gelijk aan de concentratie van A¯ (protonacceptor). We hebben al gezegd dat voor een buffer de beste buffering pH is op zijn pKa. (Onthoud ook dat de buffer een mengsel is van een equimolaire concentratie van zwak zuur en de geconjugeerde base).

Laten we het in de Henderson-Hasselbalch-vergelijking zetten

Omdat de concentratie van protonacceptor (EEN) en protondonor (HA) uniform is in het middelpunt van de titratie, wordt de waarde log 1.

Dus de vergelijking wordt pH = pKa + log 1

Dus pH = pKa + 0

Dit bewees ook dat voor een buffer de beste bufferende activiteit wordt verkregen bij een pH-waarde gelijk aan zijn pKa-waarde.

Referenties : Lehninger A.B., (2018), Textbook of Biochemistry, Ed. 5, Pearson International, New York

Studeer offline (zonder internet)

Nu kan je Downloaden de PDF van dit bericht Helemaal vrij !

Klik op de Download link / Knop hieronder om het bericht op te slaan als een enkel PDF-bestand. Het PDF-bestand wordt geopend in een nieuw venster in de browser zelf. Klik met de rechtermuisknop op de PDF en selecteer ‘Opslaan als‘ optie om het bestand op uw computer op te slaan.

Alsjeblieft Deel de PDF met je vrienden, familieleden, studenten en collega's'8230


Hoe chemicaliën in het lichaam worden uitgewisseld

Alle cellen in het lichaam wisselen voortdurend chemicaliën uit ( bijv.voedingsstoffen, afvalproducten en ionen) met de externe vloeistof eromheen (Figuur 2). Deze externe vloeistof wisselt op zijn beurt chemicaliën uit met het bloed dat door het lichaam wordt gepompt. Diffusie door membraankanalen is een dominante wijze van uitwisseling tussen deze vloeistoffen (cellulaire vloeistof, externe vloeistof en bloed). De diffusie is te wijten aan een concentratiegradiënt verband met de inhoud van de vloeistoffen. Daarom is de chemische samenstelling van het bloed (en dus van de externe vloeistof) uiterst belangrijk voor de cel. Als bijvoorbeeld de pH van het bloed en de uitwendige vloeistof te laag is (te veel H+-ionen), dan zal een teveel aan H+-ionen de cel binnendringen en de normale chemische processen verstoren. Om de juiste chemische samenstelling te behouden binnenkant de cellen, de chemische samenstelling van de vloeistoffen buiten de cellen moeten relatief constant worden gehouden. Deze constantheid staat in de biologie bekend als: homeostase.

Figuur 2

Dit is een schematisch diagram dat de stroom van soorten door membranen tussen de cellen, de extracellulaire vloeistof en het bloed in de haarvaten laat zien.

Het lichaam heeft een breed scala aan mechanismen om de homeostase in het bloed en de extracellulaire vloeistof te handhaven. De belangrijkste manier om de pH van het bloed relatief constant te houden, is door in het bloed opgeloste buffers. Andere organen helpen de homeostatische functie van de buffers te verbeteren. De nieren verwijderen bijvoorbeeld H+-ionen en andere componenten van de pH-buffers die zich in overmaat ophopen. Acidose die het gevolg is van het falen van de nieren om deze uitscheidingsfunctie uit te voeren, staat bekend als: metabole acidose. Anderzijds, acute acidose is een aandoening die het gevolg is van een plotselinge daling van de pH (bijvoorbeeld tijdens inspanning). Dit gebeurt omdat uitscheiding door de nieren een proces is dat te lang duurt om acute acidose te voorkomen. De longen bieden een snellere manier om de pH van het bloed onder controle te houden. Als reactie op inspanning verhoogt het lichaam de ademhalingsfrequentie, wat helpt om de pH-verlagende effecten van inspanning tegen te gaan door CO . te verwijderen2, een bestanddeel van de belangrijkste pH-buffer in het bloed. Acidose die het gevolg is van het falen van de longen om CO . te elimineren2 zo snel als het wordt geproduceerd, staat bekend als: respiratoire acidose.


De Hamiltoniaanse operator

Nu we de positie- en momentumoperatoren onder de knie hebben, kunnen we er een aantal andere interessante waarnemingen van maken. De belangrijkste is de Hamiltoniaan, ( hat ). U herinnert zich uit de klassieke mechanica dat de Hamiltoniaan gewoonlijk gelijk is aan de totale energie ( T+U ), en dat de eigenwaarden van de quantum Hamiltoniaan-operator inderdaad de energie van het systeem ( E ). Een generieke Hamiltoniaan voor een enkel deeltje met massa ( m ) dat beweegt in een potentiële ( V(x) ) is

Voor een eigentoestand van energie voldoet de Hamiltoniaan per definitie aan de vergelijking

Wat zijn de matrixelementen van een willekeurige toestand? Welnu, in positieruimte:

Als de toestand ( ket ) een energetische eigentoestand is, dan geldt ook ( ra hoed ket = E sprod ), of

die u zult herkennen als de (tijdonafhankelijke) Schrödinger-vergelijking.

Als we een vrij deeltje, d.w.z. ( V(x) = 0 ), dan is de oplossing van deze differentiaalvergelijking eenvoudig:

[ eginnen V(x) = 0 Rechterpijl psi_E(x) = exp left(i x sqrt> ight). einde ]

Dit is gewoon een vlakke golf met momentum ( p = sqrt <2mE>) het is niet verwonderlijk dat bij afwezigheid van enig potentieel, de energie-eigentoestanden de momentum-eigentoestanden zijn. We hadden dit kunnen voorspellen zonder de differentiaalvergelijking op te lossen, zelfs als ( V(x) = 0 ), dan is de Hamiltoniaan een zuivere functie van ( hat

), en we hebben ( [hat, wat

] = 0 ).

Voorbeeld: de eenvoudige harmonische oscillator

Een van de eerste systemen die je hebt gezien, zowel klassieke als kwantummechanica, is de eenvoudige harmonische oscillator:

Dit is in beide gevallen een goed voorbeeld, het is een van de weinige modellen die analytisch tot in detail kan worden opgelost. Natuurlijk is de SHO veel meer dan een schoolvoorbeeld. In feite is de SHO alomtegenwoordig in fysieke systemen (SLAC-deeltjestheoreticus Michael Peskin beschrijft de hele natuurkunde graag als "die subset van menselijke ervaring die kan worden teruggebracht tot gekoppelde harmonische oscillatoren".) Dit is volledig te verwachten, omdat we in de natuurkunde graag studeren systemen die bijna in evenwicht zijn.

Klassiek treden punten van stabiel evenwicht op bij minima van de potentiële energie, waar de kracht verdwijnt sinds ( dV/dx = 0 ). Kwantummechanisch is de situatie ingewikkelder, maar het is nog steeds waar dat stabiele gebonden toestanden van een bepaald systeem worden geassocieerd met een minimum van de potentiaal nabij het minimum dat we een reeks gebonden toestanden kunnen identificeren.

In beide gevallen kunnen we aanzienlijke vooruitgang boeken bij het bestuderen van het systeem door het potentieel uit te breiden tot het minimum:

De eerste afgeleide verdwijnt omdat we op een minimum zitten, en ( V(a) ) is gewoon een constante verschuiving, dus we kunnen zien dat voor kleine verplaatsingen vanuit het evenwicht de potentiaal goed wordt benaderd door een kwadratische,

Dit is precies een simpele harmonische oscillator! Dit is natuurlijk een zeer vereenvoudigde afbeelding voor één deeltje in één dimensie. Maar veel echte kwantummechanische systemen worden goed beschreven door harmonische oscillatoren (meestal aan elkaar gekoppeld) wanneer ze bijna in evenwicht zijn, bijvoorbeeld het gedrag van atomen in een kristallijne vaste stof.

Hoe zit het met de kwantumversie? Als we simpelweg de vorm van de potentiaal hierboven invullen, vinden we de differentiaalvergelijking voor de energie-eigentoestanden,

Dit is helaas lang niet zo eenvoudig als de klassieke SHO-vergelijking. Deze vergelijking kan analytisch worden opgelost met behulp van standaardmethoden. De oplossingen hebben betrekking op de Hermite-polynomen, die je misschien wel of niet eerder hebt gezien. Als je geïnteresseerd bent in de brute-force-aanpak, verwijs ik je naar Merzbacher, hoofdstuk 5, voor de bloederige details. We gaan het op een slimme manier doen, gebruikmakend van ons Hilbert-ruimteformalisme.

We beginnen met op te merken dat de Hamiltoniaan redelijk symmetrisch lijkt tussen ( hat ) en ( hat

) als we het kunnen "factoriseren" in het kwadraat van een enkele operator, dan kunnen we misschien een eenvoudigere oplossing vinden. Als we te maken hadden met getallen in plaats van operatoren, zouden we kunnen schrijven:

Helaas zitten we met de operatoren ( hat ) en ( hat

), die niet pendelen, maar omdat hun commutatierelatie relatief eenvoudig is, kunnen we misschien toch ontbinden in factoren. Laten we de nieuwe operator definiëren

Merk op dat dit is niet een Hermitische operator! Nu proberen we terug te gaan naar ( hat ):

zijn de eigenkets van de getaloperator, dan hebben we van bovenaf

[ eginnen hoed ket = links(n + frac<1><2> echts) hbar omega ket, einde ]

dus ( ket ) zijn ook de energie-eigentoestanden, met eigenwaarden

[ eginnen E_n = links(n + frac<1><2> echts) hbar omega. einde ]

Dit is een slimme constructie, maar kunnen we meer krijgen dan alleen de energieniveaus? Aangezien ons doel factorisatie was, moeten we de afzonderlijke operatoren ( hat ) en ( hat^dolk ) bestuderen. Hun commutator is gemakkelijk afgeleid:

De commutatierelaties zijn voldoende om ons te vertellen hoe de ( hat ) inwerkt op de eigentoestanden van ( hat ): Let erop dat

Ervan uitgaande dat alle basis kets ( > ) orthonormaal zijn, is voldoende om de normalisatie van de operatoren voor omhoog en omlaag te corrigeren, wat u als een oefening overhoudt: het resultaat is, ervan uitgaande dat de normalisatie echt en positief is (aangezien we willen eindigen met echte positieve energieën) ,

Merk op dat zolang de ( n ) gelabeld zijn door gehele getallen, deze reeks eindigt als we proberen de toestand ( ket <0>) te vernietigen, krijgen we de nul ket,

(Dit veronderstelt dat ( n ) een geheel getal is, maar als het niet-geheel is, krijg je willekeurig negatieve energieën! Als ons Hamiltoniaanse systeem van onderaf onbegrensd is, zullen er slechte dingen gebeuren, zoals weggelopen oplossingen die eindigen met oneindig hoge energie als we koppelen aan een ander systeem.)

De toestand ( ket <0>) komt overeen met de laagst mogelijke energie van het systeem, ( E_0 = hbar omega/2 ) noemen we de grondtoestand. We kunnen de ladderoperatoren gebruiken om elke andere toestand vanuit de grondtoestand te construeren, waarbij we ervoor zorgen dat deze correct wordt genormaliseerd:


Hoe de evenwichtswaarde $hat F$ vergelijking af te leiden - Biologie

Afleiding van het geval van overdominantie van het algemene selectiemodel Gegeven: genotype: AA AB BB
fenotype: W0 < W1 > W2
of 1-s1 < 1 > 1-s2
Overdominantie
treedt op wanneer de fitness van de heterozygoot superieur is aan die van beide homozygoten. Het resultaat is dat beide allelen in de populatie worden gehandhaafd met een evenwichtsfrequentie ( , lees "q hoed", waar q = 0 ) die de conditie maximaliseert. ["Overdominantie" is een ongelukkige term: een superieur AB fenotype kan niet worden gezegd dat het "dominant" naar ofwel homozygoot, als 'dominantie' is een relatie tussen allelen en staat los van het relatieve 'waarde' van het allel. Zo ook de term 'onderdominantie' waar AB produceert een fenotype dat inferieur is aan beide homozygoten].

Bedenk van de teller van de algemene selectievergelijking dat:

Q [(q)(W2 - W1) + (p)(W1 - W0)]

Dus, om te vinden Q Bij evenwicht () , we kunnen de noemer negeren en

set q = 0 = [(q)(1 - s2 - 1) + (p)(1 - 1 + s1)]

Merk op dat voor f(B) = , de teller is de selectiecoëfficiënt die hoort bij de wijzigenoorspronkelijk allel EEN .

Huiswerk : herleid het bovenstaande voor "P"in evenwicht"


De Aardse Bevolking

We zullen nu beginnen met het bestuderen van de aardse bevolking. Om te beginnen, hier zijn enkele gegevens over de aardse bevolking van de afgelopen jaren die we in ons onderzoek zullen gebruiken.

Jaar 1998 1999 2000 2001 2002 2005 2006 2007 2008 2009 2010
Bevolking (in miljarden) 5.932 6.008 6.084 6.159 6.234 6.456 6.531 6.606 6.681 6.756 6.831

Activiteit (PageIndex<1>): Groeidynamiek

Ons eerste model zal gebaseerd zijn op de volgende aanname:

De snelheid van verandering van de bevolking is evenredig met de bevolking.

Op het eerste gezicht lijkt dit redelijk. Als er een relatief klein aantal mensen is, zullen er minder geboorten en sterfgevallen zijn, dus het tempo van verandering zal klein zijn. Als er een groter aantal mensen is, zullen er meer geboorten en sterfgevallen zijn, dus we verwachten een grotere verandering. Als (P(t)) de populatie (t) jaar na het jaar 2000 is, kunnen we deze veronderstelling uitdrukken als [dfrac < dt>= kP label]

waarbij (k) een evenredigheidsconstante is.

  1. Gebruik de gegevens in de tabel om de afgeleide (P'(0)) te schatten met behulp van een centraal verschil. Neem aan dat (t = 0) overeenkomt met het jaar 2000.
  2. Wat is de populatie (P(0))?
  3. Gebruik deze twee feiten om de evenredigheidsconstante (k )in de differentiaalvergelijking te schatten.
  4. Nu we de waarde van (k) kennen, hebben we het beginwaardeprobleem van vergelijking ( ef) met (P(0) = 6.084). Vind de oplossing voor dit beginwaardeprobleem.
  5. Wat voorspelt jouw oplossing voor de bevolking in het jaar 2010? Komt dit in de buurt van de werkelijke populatie in de tabel?
  6. Wanneer voorspelt uw oplossing dat de bevolking 12 miljard zal bereiken?
  7. Wat voorspelt jouw oplossing voor de bevolking in het jaar 2500?
  8. Denk je dat dit een redelijk model is voor de wereldbevolking? Waarom of waarom niet? Leg uit wat je denkt met behulp van een paar volledige zinnen.

Ons werk in Activiteit (PageIndex<1>) laat zien dat het exponentiële model redelijk nauwkeurig is voor jaren, relatief dicht bij 2000. Als we echter te ver in de toekomst gaan, voorspelt het model steeds grotere veranderingssnelheden, die zorgt ervoor dat de bevolking willekeurig groot wordt. Dit heeft weinig zin, omdat het onrealistisch is om te verwachten dat de aarde zo'n grote bevolking zou kunnen ondersteunen.

De constante (k) in de differentiaalvergelijking heeft een belangrijke interpretatie. Laten we de differentiaalvergelijking herschrijven

door op te lossen voor (k), zodat we hebben

In dit licht bezien is (k) de verhouding van de veranderingssnelheid tot de bevolking, met andere woorden, het is de bijdrage aan de veranderingssnelheid van een enkele persoon. We noemen dit de groei per hoofd van de bevolking.

In het exponentiële model dat we hebben geïntroduceerd in Activiteit (PageIndex<1>), is de groeisnelheid per hoofd constant. In het bijzonder gaan we ervan uit dat wanneer de bevolking groot is, de groei per hoofd van de bevolking hetzelfde is als wanneer de bevolking klein is. Het is normaal om te denken dat de groei per hoofd van de bevolking zou moeten afnemen als de bevolking groter wordt, aangezien er niet genoeg middelen zullen zijn om zoveel mensen te ondersteunen. Met andere woorden, we verwachten dat een realistischer model zou gelden als we aannemen dat de groei per hoofd van de bevolking afhangt van de bevolking P. In de vorige activiteit hebben we de groei per hoofd van de bevolking in een enkel jaar berekend door (k ), het quotiënt van (frac

) en (P) (wat we deden voor (t = 0)). Als we gegevens retourneren en de groei per hoofd van de bevolking over een reeks van jaren berekenen, genereren we de gegevens die worden weergegeven in figuur (PageIndex<1>), die laat zien hoe de groei per hoofd van de bevolking een functie is van de bevolking, (P).

Figuur (PageIndex<1>): Een grafiek van de groeisnelheid per hoofd van de bevolking versus de bevolking P.

Uit de gegevens blijkt dat de groei per hoofd van de bevolking lijkt af te nemen naarmate de bevolking toeneemt. In feite lijken de punten heel dicht bij een lijn te liggen, die op twee verschillende schalen wordt weergegeven in figuur (PageIndex<2>).

Figuur (PageIndex<2>): De lijn die de groei per hoofd van de bevolking benadert als een functie van de bevolking, P.

Als we goed naar deze lijn kijken, kunnen we de vergelijking ervan vinden:

Als we beide zijden vermenigvuldigen met (P), komen we uit op de differentiaalvergelijking

De afhankelijkheid van (frac . tekenen

) op de populatie (P), zien we dat deze differentiaalvergelijking een kwadratisch verband laat zien tussen (frac
) en (P), zoals weergegeven in figuur (PageIndex<3>).

Figuur (PageIndex<3>): Een plot van (frac

) vs. (P) voor vergelijking ( ef).

Vergelijking ( ef) is een voorbeeld van de logistieke vergelijking, en is het tweede model voor bevolkingsgroei dat we zullen overwegen. We hebben reden om aan te nemen dat dit realistischer zal zijn, aangezien de groei per hoofd van de bevolking een afnemende functie van de bevolking is.

Inderdaad, de grafiek in figuur (PageIndex<3>) laat zien dat er twee evenwichtsoplossingen zijn, (P = 0), wat instabiel is, en (P = 12.5), wat een stabiel evenwicht is. De grafiek laat zien dat elke oplossing met (P(0) > 0) zich uiteindelijk zal stabiliseren rond 12,5. Met andere woorden, ons model voorspelt dat de wereldbevolking zich uiteindelijk zal stabiliseren rond de 12,5 miljard.

Een voorspelling voor het langetermijngedrag van de populatie is een waardevolle conclusie die we uit onze differentiaalvergelijking kunnen trekken. Wel willen we enkele kwantitatieve vragen beantwoorden. Hoe lang duurt het bijvoorbeeld om een ​​bevolking van 10 miljard te bereiken? Om dit te bepalen, moeten we een expliciete oplossing van de vergelijking vinden. De logistieke differentiaalvergelijking oplossen Omdat we het logistieke model in meer algemene situaties willen toepassen, geven we de logistieke vergelijking in zijn meer algemene vorm,

De evenwichtsoplossingen zijn hier als (P = 0) en (1 &min frac

= 0), wat aangeeft dat (P = N). Het evenwicht bij (P = N) heet de draagvermogen van de bevolking, want het vertegenwoordigt de stabiele populatie die door het milieu kan worden onderhouden.

We lossen nu de logistische vergelijking ( ef<7.2>) op, die scheidbaar is, dus scheiden we de variabelen

en integreren om dat te vinden

Om het antiderivaat aan de linkerkant te vinden, gebruiken we de partiële breukdecompositie

Nu zijn we klaar om te integreren, met

( int dfrac<1> < N>left[ dfrac<1> < P>+ dfrac<1> < N &min P> ight] dP = int k dt.)

Merk aan de linkerkant op dat (N) constant is, dus we kunnen de factor (frac<1> verwijderen)) en antidifferentiëren om dat te vinden

Door beide zijden van deze laatste vergelijking te vermenigvuldigen met (N) en een belangrijke regel van logaritmen te gebruiken, vinden we vervolgens dat

( ln links| dfrac

< N &min P> echts | = kNt + C. )

Uit de definitie van de logaritme, waarbij (e^C) wordt vervangen door (C), en (C) de absolute waardetekens laat opnemen, weten we nu dat

Op dit punt hoef je alleen nog (C) te bepalen en algebraïsch op te lossen voor (P).

Als de initiële populatie (P(0) = P_0) is, dan volgt daaruit dat

We lossen deze meest recente vergelijking voor (P) op door beide zijden te vermenigvuldigen met ((N &min P)(N &min P_0)) om te verkrijgen

Door de linker- en rechterkant te verwisselen, uit te breiden en te factoriseren, volgt daaruit dat:

Als we delen om op te lossen voor (P), zien we dat

Ten slotte kiezen we ervoor om teller en noemer te vermenigvuldigen met (frac<1> e^<&minusk N t>) te verkrijgen

Hoewel dat veel algebra was, let op het resultaat: we hebben een expliciete oplossing gevonden voor het beginwaardeprobleem

met (P(0) = P_0) en die oplossing is Vergelijking ( ef<7.3>).

Voor de logistische vergelijking die de populatie van de aarde beschrijft waarmee we eerder in deze sectie hebben gewerkt, hebben we:

(k = 0,002), (N = 12,5), en (P_0 = 6,084).

waarvan de grafiek wordt getoond in Figuur (PageIndex<4>) Merk op dat de grafiek laat zien dat de bevolking afvlakt op 12,5 miljard, zoals we hadden verwacht, en dat de bevolking in het jaar 2050 ongeveer 10 miljard zal bedragen. Deze resultaten, die we hebben ontdekt dat het gebruik van een relatief eenvoudig wiskundig model redelijk goed overeenkomt met voorspellingen die zijn gedaan met behulp van een veel geavanceerder model dat is ontwikkeld door de Verenigde Naties.

Figuur (PageIndex<4>): De oplossing voor de logistische vergelijking die de populatie van de aarde modelleert (Vergelijking ef).

De logistische vergelijking is ook nuttig in andere situaties, omdat het goed is voor het modelleren van elke situatie waarin beperkte groei mogelijk is. Het zou bijvoorbeeld de verspreiding van een griepvirus door een populatie op een cruiseschip kunnen modelleren, de snelheid waarmee een gerucht zich verspreidt in een kleine stad, of het gedrag van een dierenpopulatie op een eiland. Nogmaals, het is belangrijk om te beseffen dat we door ons werk in deze sectie de logistische vergelijking volledig hebben opgelost, ongeacht de waarden van de constanten (N), (k), en (P_0).

Elke keer dat we een logistische vergelijking tegenkomen, kunnen we de formule toepassen die we in vergelijking ef<7.3> hebben gevonden.

Activiteit (PageIndex<2>): De bevolking van de aarde voorspellen

Overweeg de logistieke vergelijking

met de grafiek van (frac

) vs. (P) hieronder weergegeven.

  1. Bij welke waarde van (P) is de veranderingssnelheid het grootst?
  2. Kijk eens naar het model voor de wereldbevolking dat we hebben gecreëerd. Bij welke waarde van (P) is de veranderingssnelheid het grootst? Hoe verhoudt zich dat tot de bevolking van de afgelopen jaren?
  3. Wat zal de bevolking zijn volgens het door ons ontwikkelde model in het jaar 2100?
  4. Wanneer zal de bevolking volgens het door ons ontwikkelde model de 9 miljard bereiken?
  5. Beschouw nu de algemene oplossing voor het algemene logistische beginwaardeprobleem dat we hebben gevonden, gegeven door vergelijking ( ef<7.3>). Controleer algebraïsch dat (P(0) = P_0) en dat (lim_ P(t) = N.)

Veronderstellingen

  • De relaties beschreven door de Gibbs'039 Phase Rule passen de concepten van evenwichtsthermodynamica toe. Aangenomen wordt dat geologische systemen voldoende tijd hebben om op natuurlijke wijze in evenwicht te komen. Er wordt ook aangenomen dat geologische systemen "gesloten" systemen zijn - dat wil zeggen dat de massa van het systeem in wezen constant blijft en dat het systeem vrij is om energie te verbruiken of vrij te maken om werk te doen.
  • Voor geologische systemen worden warmte en arbeid beschouwd als de belangrijkste bijdragen aan de energie van het systeem - dat wil zeggen, "PV-werk" is de dominante bron van energie die door het systeem wordt verbruikt/vrijgemaakt. We houden geen rekening met de effecten van externe velden (bijvoorbeeld elektrisch, magnetisch, zwaartekracht), en we houden geen rekening met oppervlakte-energie of grenseffecten.
  • Er wordt geen rekening gehouden met kinetische effecten. Dit kan problemen opleveren met een evenwichtsthermodynamische benadering als er metastabiele fasen in het systeem aanwezig zijn. In natuurlijke omgevingen is het gebruikelijk dat een bepaald mineraal voorkomt onder fysieke omstandigheden die de voorspelde stabiliteitslimieten overschrijden. Een goed voorbeeld is de persistentie van kyaniet in het stabiliteitsveld van sillimanieten. Deze specifieke reactie a) heeft een zeer kleine Δ Grxn (en dus een kleine "aandrijvende kracht" om de reactie te laten verlopen), en b) de polymorfe reactie is van de "reconstructieve" soort en vereist het verbreken en opnieuw vormen van sterke covalente bindingen. De aanwezigheid van metastabiele fasen kan de zaken bemoeilijken bij het bepalen van de evenwichtsomstandigheden voor stabiele minerale assemblages, maar het zijn essentiële indicatoren van veranderende fysieke omstandigheden die ons in staat stellen om druk-temperatuur-tijdpaden te interpreteren.
  • In sommige gevallen kunnen oppervlaktereacties (bijv. sorptie, katalyse) optreden in een geologische omgeving en bijdragen aan de algehele energie van het systeem. Oppervlakte-energieën zijn niet opgenomen in de Gibbs Phase Rule-formulering.
  • Gibbs'039 Phase Rule kan niet klakkeloos worden toegepast. Het is belangrijk om een ​​zo goed mogelijke karakterisering van de identiteit, samenstelling en structurele toestand van de aanwezige fasen te verkrijgen. Complexe materialen zoals silicaten met een gemengde laag kunnen bijvoorbeeld problemen veroorzaken, of mineralen die verschillende structurele toestanden vertonen (bijvoorbeeld de alkali-veldspaat). Een overzicht van analytische technieken die worden gebruikt om mineralen, smelten en vloeistoffen te karakteriseren is te vinden op de bijbehorende website over Geochemical Instrumentation and Analysis
  • Door deze aannames en beperkingen te erkennen, biedt de Gibbs-faseregel nog steeds een krachtige manier om geologische systemen te analyseren en te interpreteren. Hoewel geologische systemen dynamisch zijn en vaak in een onevenwichtige toestand verkeren, laat de evenwichtsbenadering zien wat de toestand van het systeem voldoende tijd en energie zou krijgen om dat evenwicht te bereiken. Het geeft ook informatie over de faseveranderingen of reacties die te verwachten zijn in een systeem dat uit evenwicht raakt als gevolg van veranderingen in fysieke omstandigheden. Kennis van de volgorde van mogelijke reacties levert dus belangrijke informatie over "paden" in geologische systemen die interpretaties van tektonische omgevingen, petrogenetische processen en de evolutie van geologische systemen mogelijk maken (zie de volgende hoofdstukken over pseudosecties, PTt-paden en geavanceerde modelleringsprogramma's (ThermoCalc, TWEEQ, PERPLEX, SMELT).

Hoe de evenwichtswaarde $hat F$ vergelijking af te leiden - Biologie

De evenwichtsprijs en -hoeveelheid is het punt waar de vraag- en aanbodcurve elkaar kruisen.

Beschouw een economie met de volgende vraag- en aanbodvergelijkingen:

waarbij vertegenwoordigt de vraag naar hoeveelheid en is de evenwichtsprijs en

waar is de geleverde hoeveelheid. Deze twee vergelijkingen worden geïllustreerd in het onderstaande diagram.

De evenwichtsprijs wordt bepaald door het punt te vinden waar zowel vraag als aanbod dezelfde waarde hebben, d.w.z. . Daarom stellen we de vergelijkingen voor de vraag- en aanbodcurve gelijk aan elkaar, zodat:

We kunnen de geproduceerde evenwichtshoeveelheid oplossen door de prijs terug te substitueren in de vraag- of aanbodvergelijking, aangezien het aanbod in evenwicht gelijk is aan de vraag. Dit betekent dat


Probleem: Als je Kb weet voor ammoniak, NH3, dan kun je de evenwichtsconstante Ka voor deze reactie berekenen met de vergelijking: NH4 + ⇌ NH3 + H + a) Ka = KwKb b) Ka = Kw / Kb c) Ka = 1 / Kb d) Ka = Kb / Kw

Als je Kb kent voor ammoniak, NH3, kun je de evenwichtsconstante berekenen, Keen, voor deze&160reactie&van de vergelijking:

Veel Gestelde Vragen

Welk wetenschappelijk concept moet je kennen om dit probleem op te lossen?

Onze docenten hebben aangegeven dat je om dit probleem op te lossen het Ka en Kb concept moet toepassen. Je kunt videolessen bekijken om Ka en Kb te leren. Of als je meer Ka en Kb oefening nodig hebt, kun je ook Ka en Kb oefenproblemen oefenen.

Wat is de moeilijkheid van dit probleem?

Onze docenten beoordeelden de moeilijkheidsgraad van:Als je Kb weet voor ammoniak, NH3, kun je de equil berekenen. als gemiddelde moeilijkheidsgraad.

Hoe lang duurt het voordat dit probleem is opgelost?

Onze deskundige scheikundeleraar, Sabrina, had 1 minuut en 33 seconden nodig om dit probleem op te lossen. Je kunt hun stappen volgen in de video-uitleg hierboven.

Voor welke hoogleraar is dit probleem relevant?

Op basis van onze gegevens denken we dat dit probleem relevant is voor de klas van professor Moussa op de VCU.


Hoe de volgende formule afleiden? [Druk in relatie tot kinetiek]

waarbij de uiteindelijke totale druk als functie van de tijd #P_f = nP_0# is.

De formule is niet van toepassing wanneer #n = 1# . #n# kan fractioneel zijn.

1 antwoord

Hier is mijn beste kans om deze vergelijking af te leiden.

Uitleg:

De aan u gegeven vergelijking ziet er als volgt uit:

Om het algemener te maken, gebruik ik concentratie in plaats van druk. Houd er rekening mee dat wanneer het volume en de temperatuur zijn constant gehouden, concentratie is proportioneel te druk.

Je hebt dus te maken met een eerste orde reactie

Je weet dat de snelheid van de reactie is *proportioneel tot de concentratie van de reactant, #["A"]# .

Je kunt de snelheid van de reactie uitdrukken in termen van de verandering in de concentratie van de reactanten met de tijd. Als je #["A"_0]# neemt als de beginconcentratie van #"A"# , kun je zeggen dat je

Hier staat #x# voor het aantal #"A"# geconsumeerd over een bepaalde tijd #t#

U kunt dus een snelheidsconstante #k# om te schrijven

Je moet de relatie vinden die bestaat tussen de concentratie van #"A"# en de tijd van de reactie, dus integreer beide kanten om te krijgen

Hier is #c# gewoon een integratieconstante. U kunt de waarde van #c# bepalen door gebruik te maken van het feit dat u bij #t=0# #x=0# heeft

Vul dit weer in de vergelijking #color(orange)(("*"))# om te krijgen

en isoleer #k# aan één kant van de vergelijking om . te krijgen

Nu voor het interessante deel.

Je moet denken aan druk en mollen hier. Druk en concentratie zijn recht evenredig wanneer temperatuur en volume constant worden gehouden omdat druk en aantal mol zijn onder die voorwaarden proportioneel.

#P/n = "constant" -># wanneer temperatuur- en volume worden constant gehouden

Als je gebruikt druk in plaats van concentratie, je zult hebben

Dit is hoe ik denk dat de aan jou gegeven vergelijking tot stand is gekomen. Als je pakt

#P_0# - de begindruk in het reactievat, d.w.z. de druk voordat de reactie begint

#P_t# - the pressure inside the reaction vessel at a given time #t#

#P_f# - the pressure inside the reaction vessel na the reaction is complete

#x prop P_t - P_0 -># the change in pressure at a given time #t# is proportioneel to the difference between the initial pressure and the pressure at #t#

This is equivalent to saying that the change in the number of moles of #"A"# is proportional to the difference between the total number of moles present in the reaction vessel at time #t# and the initial number of moles of #"A"# .

#P_0 prop P_f - P_0 -># the initial pressure is proportioneel to the difference between the pressure when the reaction is complete and the initial pressure

This is equivalent to saying that the number of moles of #"A"# that blijven in the vessel after the reaction is complete will be proportional to the initial number of moles of #"A"# .

#(P_0 - x) prop (P_f - P_0) - (P_t - P_0)#

#(P_0 - x) prop P_f - color(red)(cancel(color(black)(P_0))) - P_t + color(red)(cancel(color(black)(P_0)))#

#(P_0 - x) prop P_f - P_t#

Plug this into equation #color(orange)(("* *"))# to get

which is of course equal to

#color(white)()#
SIDE NOTE

This equation would also make sense if pressure and temperature were kept constant. In that case, the concentration would be proportional to volume.